สมการ - แก้สมการ

มีน้องคนหนึ่งไม่ได้บอกชื่อ...ส่งสมการมาให้ช่วยแก้ ลองมาดูกันนะครับ
สมการที่ให้มาคือ    3n + 1/5 = 7/5 - y/4

ถ้ามีค่า n จะได้
3n + 1/5 = 7/5 - y/4
        3n  = 7/5 - 1/5 - y/4
        3n = 6/5 - y/4
          n = (1/3)(6/5 - y/4)
          n = 2/5 - y/12

ถ้ามีค่า y จะได้
3n + 1/5 = 7/5 - y/4
       y/4  = 7/5 - 1/5 - 3n
       y/4 = 6/5 - 3n
           y = 4(6/5 - 3n)
           y = 24/5 - 12n

ขออภัยครับที่ตอบให้ช้า...

ตอบคำถามคณิตศาสตร์

(2x - 21) +5x=?

จากที่โจทย์ที่ให้มา เราสามารถเอาวงเล็บออกได้ แล้วจึงทำการรวมพจน์ที่เหมือนกัน
(2x -21) + 5x = 2x - 21 + 5x = 7x - 21


3x : 7 = (x - 5 ) : 4 คิดยังไงคะ

จากที่โจทย์ที่ให้มา เป็นสมการในรูปอัตรส่วนวิธีการแก้ เราใช้หลักง่ายคือ
เอาตัวไกลคูณตัวไกล ( 3x กับ 4) เท่ากับ ตัวใกล้คูณกับตัวใกล้ (7 กับ x-5) จะได้
        12x = 7(x -5)
        12x = 7x -35
12x - 7x = -35
         5x = -35
          x = -35 / 5
          x = -7

ตอบคำถาม-คุณ KJ PD8

KJ PD8 ธันวาคม 2560 06:25
โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียนชาย 2/5 ของนักเรียนทั้งหมด ถ้าจำนวนนักเรียนหญิงมากกว่านักเรียนชายอยู่ 480 คน โรงเรียนนี้มีนักเรียนทั้งหมดกี่คน ข้อนี้ละครับ

ให้โรงเรียนมีนักเรียนทั้งหมด m คน
มีนักเรียนชาย (2/5)m คน
มีนักเรียนหญิง m -(2/5)m = (3/5)m คน
จำนวนนักเรียนหญิงมากกว่านักเรียนชาย (3/5)m - (2/5)m = (1/5)m คน
จะได้สมการ
(1/5)m = 480
m = 480x5
m = 2400 คน

ตรวจสอบ 
มีนักเรียนชาย (2/5)m = (2/5)x2400 = 960 คน
มีนักเรียนหญิง (3/5)m = (3/5)x2400 = 1440 คน

ขอบคุณมากครับ

ตอบคำถาม-คุณ Kai zapp10

Kai zapp10 พฤศจิกายน 2559 04:02
ครูมีดินสอ ข โหล แจกให้นักเรียน 60 คน คนละสองแท่ง ดินสอหมดพอดี จงเขียนเป็นสมการ

แนวคิด จำนวนดินสอที่ครูมี = จำนวนดินสอที่นักเรียนได้
ครูมีดินสอ ข โหล เท่ากับ 12ข แท่ง
แจกให้นักเรียน 60 คน คนละ 2 แท่ง = 60x2 แท่ง
จะได้สมการ
12ข = 60x2

ขอบคุณที่ถามมานะครับ และต้องขออภัยที่ตอบให้ช้า

เรื่องของสมการ-เพิ่มเติม

มีข้อสังสัยเกี่ยวกับเรื่องของสมการมาครับ จากน้องชัยวัฒน์ แสนประสิทธิ์
   โดยถามมาว่า 3x + 1 = 10 ผมไม่เข้าใจสมการนี้นะครับ -1 มาจากไหนแล้วทำยังไง x ถึงได้ 3 ครับช่วยตอบที่ครับครู

ข้อตอบข้อสงสัยของน้องแบบนี้นะครับ
ประเด็นที่ 1 โจทย์สมการแบบนี้ มีเป้าหมายคือให้เราหาข้อของตัวแปร ในที่นี้คือ x ว่า x คือตัวเลขอะไรที่ทำให้สมการเป็นจริง
ประเด็นที่ 2 วิธีการหาค่าของตัวแปรหรือที่เราเรียกกันว่าการแก้สมการ เป็นขั้นตอนในการกำจัดตัวเลขต่างๆ เพื่อทำให้ตัวแปรเหลืออยู่ตัวเดียว ทางด้านซ้ายมือ โดยใช้หลักการการพื้นที่ว่า เราสามารถนำตัวเลขที่เท่ากันมาทำการบวก - ลบ - คูณ - หาร เพิ่มเข้าไปทั้ง 2 ข้างของสมการได้ แต่ห้ามใช้ 0 คูณและหาร ครับ
ตอนนี้จะขอแสดงวิธีทำให้ดูอีกครั้งครับ
     3x + 1 = 10
3x + 1 -1 = 10 - 1     ___(1)
           3x = 9            ___(2)
      3x /3 = 9/3          ___(3)
             x = 3            ___(4)
จากโจทย์ เราจะหาค่าของ x ทำให้ x อยู่ตัวเดียวด้านซ้ายของสมการ
แต่มีตัวเลขที่มาผัวพันกับ x ตัวอยู่ 2 ตัว คือ 1 ซึ่่งมาบวกอยู่ และ 3 ที่มาคูณอยู่กับ x

เรามีขั้นตอนดังนี้
1. เราต้องกำจัด +1 ออกไปก่อน โดยการ เพิ่ม -1 เข้าไปทั้ง 2 ข้างของสมการ
2. หลังจากนั้นคิดเลข ด้านซ้าย +1 จะหายไป เหลือ 3x และด้านขวา จะเหลือ 9
3. เราต้องกำจัด 3 ที่คูณอยู่หน้้า x  ออกไป โดย นำ 3 มาหารทั้ง 2 ข้างของสมการ
4. คิดตัวเลข จะได้ว่า ด้านซ้ายจะ x เพียงตัวเดียวและด้านขวาจะได้ 3
และจากบรรทัดนี้ทำให้เรารู้ว่า x ที่นี้คือ 3 ที่ทำให้สมการเริ่มต้นเป็นจริง

แต่ในปัจจุบันนี้ครูส่วนใหญ่จะสอนให้นักเรียนทำวิธีหรือขั้นตอนที่สั้นลง และเด็กนักเรียนก็ใช้วิธีการแบบสั้นๆจนลืมหลักการพื้นฐานของสมการไป ซึ่งเป็นเรื่องที่น่าเป็นห่วงมากครับ เพราะวิชาคณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เน้นให้เราคิดแก้เป็นปัญหาต่างๆแบบมีเหตุผล มีขั้นตอน มีระเบียบและอธิบายได้ ดังนั้นการจะทำสิ่งต่างโดยใช้วิธีการใดก็ตาม จะใช้วิธีแบบสั้นหรือแบบยาวก็ได้ แต่ต้องอธิบายและให้เหตุผลได้ว่าใช้หลักการอะไรมาแก้ไขปัญหา จึงจะถือว่าผ่าน

การตรวจคำตอบของสมการ 2

ลองมาดูการแก้สมการและวิธีการแก้สมการกันต่อ อีกตอนนะครับ
ตัวอย่างที่ 1 

จะตัวอย่างนี้ เราจะพบว่า ค่า x ที่ได้จากการแก้สมการ เป็นคำตอบของสมการ เราสามารถสรุปได้ว่าสมการนี้มีคำตอบ (1 คำตอบ)
ขอแสดงภาพดังนี้

จากภาพจะเห็นว่า เป็นเส้น 2 เส้นตัดกัน(หรือพบ) กับที่ x = 1

ตัวอย่างที่ 2

จะตัวอย่างนี้ เราจะพบว่า ค่า x ที่ได้จากการแก้สมการ เป็นไม่คำตอบของสมการ เมื่อนำไปตรวจคำตอบ เราสามารถสรุปได้ว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ
ขอแสดงภาพดังนี้

จากภาพจะเห็นว่า เป็นเส้น2 เส้นที่ไม่ตัดกัน (หรือไม่พบ) ที่ x ใด

สรุป การตรวจคำตอบคำ ทำให้เราทราบว่า
1. คำตอบที่เราได้มาอาจจะผิดได้ เพราะแก้สมการผิดเอง
2. คำตอบที่เราได้มา ถึงแม้จะทำถูก ก็อาจะจะไม่ใช่คำตอบของสมการ
3. สมการบางลักษณะอาจมีคำตอบ
4. สมการบางลักษณะอาจไม่มีคำตอบ

การตรวจคำตอบของสมการ

เนื่องจากมีผู้อ่านคนหนึ่งได้ถามมาว่า การตรวจคำตอบของสมการนั้นทำอย่างไร ผมเลยขออธิบายเรื่องในเบื้องต้น ดังนี้ครับ
ขั้นที่ 1 มาทำความเข้าใจกับความหมายของคำว่า คำตอบของสมการ กันก่อน
คำตอบของสมการ คือ ตัวเลขที่สอดคล้องกับสมการ หรือ ทำให้สมการนั้นเป็นจริง
เช่น  กำหนดให้  x + 3 = 8
ถ้าลองให้ x = 1 จะได้  1 + 3 = 4 ไม่เท่ากับ 8
ดังนั้น x = 1 ทำให้สมการเป็นเท็จ
1 จึงไม่ใช่คำตอบของสมการ

ถ้าลองให้ x = 5 จะได้  5 + 3 = 8
ดังนั้น x = 5 ทำให้สมการเป็นจริง
5 จึงเป็นคำตอบของสมการ

ขั้นที่ 2 มาทำความเข้าใจในความหมายของคำว่า การตรวจคำตอบของสมการ กันต่อ
การตรวจคำตอบของสมการ เป็นวิธีการพิจารณาว่าตัวเลขที่ได้มาจากการแก้สมการ ทำให้สมการเป็นจริงหรือไม่หรือเป็นคำตอบที่โจทย์ต้องการหรือไม่ 
   การตรวจคำตอบทำได้โดยการแทนค่า ตัวเลขที่ได้มาแทนที่ตัวแปรในโจทย์ แล้วหาผลลัพธ์ดูว่าทั้ง 2 ข้างเท่ากันหรือไม่ ถ้าเท่ากัน แปลว่าตัวเลขที่ได้มาเป็นคำตอบของสมการ
เช่น
  3(x - 5)  = 2(x - 3)
   3x - 15 = 2x - 6
   3x - 2x = -6 +15
            x = 9
จากการแก้สมการ เราได้ค่าของ x = 9
ตรวจคำตอบ โดยแทนค่า x = 9 ดังนี้
  ทางด้านซ้ายของสมการ  3(x - 5) = 3(9 - 5) = 3x4 = 12
  ทางด้านขวาของสมการ  2(x - 3) = 2(9 - 3) = 2x6 = 12
จะได้ว่า x = 9 ทำให้สมการเป็นจริง
คำตอบของสมการคือ 9

แต่ถ้าแก้สมการแล้วได้ x เป็นตัวเลขอื่น เช่น x = 10
ตรวจคำตอบ โดยแทนค่า x = 10 ดังนี้
  ทางด้านซ้ายของสมการ  3(x - 5) = 3(10 - 5) = 3x5 = 15
  ทางด้านขวาของสมการ   2(x - 3) = 2(10 - 3) = 2x7 = 14
จะได้ว่า x = 10 ทำให้สมการเป็นเท็จ
10 ไม่ใช่คำตอบของสมการ
   หมายความว่าเราแก้สมการไม่ถูกต้อง ควรกลับไปดูขั้นตอนการแก้สมการอีกครั้ง

โปรดติดตามต่อไปครับ...

คณิตศาสตร์: การแก้สมการตอนที่8

การแก้สมการแบบที่มีเศษส่วน
วิธีคิด ทำให้เศษส่วนหายไปโดย คูณด้วยครน. ทั้ง 2 ข้าง

อ่านแล้วงงๆ ก็มาดูตัวอย่างกันเลย..จะดีกว่าครับ

ผมได้ทำเว็บไซด์แฝดน้อง http://kruteeworld.siamvip.com/

มีเนื้อหาให้อ่านและมีใบงานให้ดาวน์โหลดกันฟรี

เชิญทุกท่านไปเยี่ยมชมกันได้ครับ
* * * * *

คณิตศาสตร์: การแก้สมการตอนที่7

การแก้สมการแบบที่มีวงเล็บ

วิธีคิด การคูณกระจายโดยนำตัวเลขที่อยู่หน้าวงเล็บ
คูณกับทุกตัวในวงเล็บก่อน
กฏการกระจาย a(b + c) = ab + ac
เช่น 
        3(x +2) = 3x + 6
       -3(4x -1) = -12x +3

หมายเหตุ 
จากตัวอย่างที่ 1 และ 2 การนำ 2 หรือ -2 ไปคูณกระจายเข้าไปในวงเล็บก่อนเพื่่อทำให้วงเว็บหายไป เป็นวิธีการหนึ่งในการแก้สมการ
แต่จากตัวอย่างที่ 1 จะนำ 2 ย้ายไปหาร 20 ก่อนก็ได้เช่นกัน
และจากตัวอย่างที่ 2 จะนำ -2 ย้ายไปหาร -14 ก่อนก็ได้เช่นกัน

     
 

คณิตศาสตร์: การแก้สมการตอนที่6

การลดขั้นตอนในการแก้สมการ

วิธีคิด ย้ายตัวแปรมาอยู่ด้านซ้ายพร้อมกับ
ย้ายตัวเลขที่ไม่ตัวแปรไปอยู่ด้านขวา
ทำใจสบายๆก่อนแล้ว มาดูตัวอย่างกันนะครับ
สำหรับตอนนี้เป็นวิธีของคนที่ชำนาญพอสมควรแล้ว
ถ้าใครไม่เข้าใจก็ให้ทำตามตัวอย่างของตอนอื่นๆได้ครับ
 

คณิตศาสตร์: การแก้สมการตอนที่5

ตอนเรามาดูการแก้สมการแบบที่ซ้อนมากขึ้นอีกนิดนะครับ

สมการแบบที่มีตัวแปรหลายข้างของสมการ
วิธีคิด ย้ายตัวแปรที่อยู่ด้านขวามาอยู่ด้ายซ้าย

 

 
 
 

คณิตศาสตร์: การแก้สมการตอนที่4

ตอนเรามาดูการแก้สมการแบบที่ซ้อนมากขึ้นอีกนิดนะครับ

สมการแบบที่มีตัวแปรอยู่หลายที่
วิธีคิด ทำให้ตัวแปรเหลืออยู่ที่เดียวก่อนด้วยการบวกหรือลบ

คณิตศาสตร์: การแก้สมการตอนที่3

ตอนนี้เรามาแก้สมการด้วยวิธีลัดกันนะครับ

หลักการ คือ ทำให้ตัวแปรอยู่ด้านซ้ายตัวเดียวโดยการ
1) ย้ายตัวเลขที่บวก - ลบ ไปก่อน
2) ย้ายตัวเลขที่คูณ - หาร กับแปรตัวทีหลัง

 

 

 

คณิตศาสตร์: การแก้สมการตอนที่2

มาดูตัวอย่างการแก้สมการกันต่อนะครับ

สรุปได้ว่า
ถ้าตัวเลขที่ติดอยู่ข้างหน้าตัวแปร (ตัวเลขที่คูณกับตัวแปร)
เราทำให้หายไปโดยการนำตัวเลขนั้นนำมาหารทั้ง 2 ข้าง

สรุปว่า
1) ถ้าตัวเลขที่อยู่ด้านล่างตัวแปร (ตัวเลขที่หารตัวแปร)
    ทำให้หายไปโดยนำตัวเลขนั้นมาคูณทั้ง 2 ข้าง
2) ถ้าตัวเลขที่เป็นเศษส่วนอยู่หน้าตัวแปร
    ทำให้หายไปโดยการสลับเศษส่วนแล้วคูณทั้ง 2 ข้าง

คณิตศาสตร์: การแก้สมการ ตอนที่1

ก่อนหน้านี้ครูเคยเขียนรื่องเกี่ยวกับตัวแปรไปแล้ว มาตอนนี้
ลองมาดูกันว่า เรานำตัวแปรมาใช้ประโยชน์ได้อย่างไร
เกี่ยวกับเรื่องการแก้สมการ แต่ก่อนอื่นต้องทำมาความรู้จัก
กับคำว่า การแก้สมการและคำตอบของสมการกันก่อน

การแก้สมการ หมายถึง ขบวนการในการหาคำตอบของสมการ
คำตอบของสมการ หมายถึง จำนวนหรือตัวเลขที่ทำให้สมการ
นั้นเป็นจริง(หรือเท่ากันทั้ง 2 ข้าง) 

หลักการคิด คือ พยายามทำให้ตัวแปรอยู่โดดๆ ด้ายซ้ายของสมการ

ตัวอย่าง จงหาค่าของ x
1)   x + 3 = 9
ทำ      x + 3 = 9
     x + 3 - 3 = 9 - 3   (นำ 3 มาลบทั้ง 2 ข้าง)
                x = 6

2)   x + 17 =  50
ทำ       x + 17 =  50
    x + 17 - 17=  50 - 17  (นำ 17 มาลบทั้ง 2 ข้าง)
                  x = 33

3)   5 + x = 14
ทำ     5 + x = 14
    5 + x - 5 = 14 - 5 (นำ 5 มาลบทั้ง 2 ข้าง)
               x = 9

4)   x - 9 = 30
ทำ      x - 9  = 30
     x - 9 + 9 = 30 + 9     (นำ 9 มาบวกทั้ง 2 ข้าง)
                x = 39

5)   x - 10 = -25
ทำ       x -10 = -25
     x - 10 + 10= -25 +10  (นำ 10 มาบวกทั้ง 2 ข้าง)
                   x = -15

6)   -6 + x = 10 
ทำ    -6 + x = 10
   -6 + x + 6 = 10 + 6  (นำ 6 มาบวกทั้ง 2 ข้าง)
               x = 16

หมายเหตุ
1.  ตัวอย่างที่ผ่านเป็นการแก้สมการโดยการเขียนแบบเต็มรูปแบบ
     ซึ่งครูต้องแสดงด้วยให้ดูก่อนในครั้งหลังจะเขียนแบบย่อ
2.  ในการแก้สมการด้านบนเป็นการทำให้ตัวแปร x อยู่โดดๆด้วย
     การบวกหรือลบตัวเลขอีกตัวเพิ่มเข้าไปทั้ง 2 ข้าง แล้วทำให้
     ตัวเลขด้านซ้ายมือหมดไป

สมการคืออะไร

สมการเป็นเรื่องสำคัญมากเรื่องหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์เพราะเป็นพื้นฐานของการแสดงขั้นตอนการคำนวณและเนื้อหาในเรื่องต่างๆที่นักเรียนได้เรียนนั้นเกือบทั้งหมดต้องใช้ในความรู้เรื่องสมการเป็นพื้นฐาน ดังนั้นการทำความเข้าใจในเรื่องของสมการนี้จึงเป็นเรื่องที่มีความจำเป็นมาก

สมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ทำให้เรารู้ว่าทั้ง 2 ข้าง

(ด้านซ้ายและด้านขวา) มีค่าเท่ากัน โดยถูกคั่นไว้ด้วยเครื่องหมายเท่ากับ " = "
เช่น
  1) 5 = 4 + 1
  2)  10 + 7 = 17
  3)  x + 3 = 20
  4)  2x + 1 = 5 - x

ก่อนที่จะลงลึกเรื่องการแก้สมการ ผมอยากจะให้ทุกคนเห็นภาพรวมการนำสมการไปใช้งานให้ส่วนต่างๆ ก่อนนะครับ โดยทั่วไปแล้วเราใช้สมการใน 4 ลักษณะคือ

1. ใช้แสดงขั้นตอนในการคำนวณต่างๆ เช่น
จงหาผลลัพท์ของ
1) (3 + 5) x 2 = 8 x 2 = 16
2) (2 x 4) + (5 x 3) - 10 = 8 + 15 - 10 = 23 - 10 = 13

ในลักษณะนี้จะเห็นได้ว่า เป็นการใช้เครื่องหมายเท่ากับ
เขียนต่อๆกันไปจนได้คำตอบสุดท้าย

ข้อระวัง  ขอให้สังเกตการเขียนต่อไปนี้

        3 + 5 + 10 - 4 = 8 + 10 = 18 - 4 = 14

การเขียนขั้นตอนแบบนี้เป็นการเขียนที่ไม่ถูกต้อง
เพราะไม่ได้เขียนตัวเลขที่ยังได้คำนวณคือ 4

ซึ่งจะทำให้ความหมายผิดเพี้ยนไป
และไม่ถูกต้องตามความหมายของสมการด้วย

2. ใช้ในโจทย์การหาค่าตัวแปรที่เรายังไม่รู้ค่า (หรือแก้สมการ) เช่น
จงแก้สมการเพื่อหาค่าของ x
          3x + 1 = 10
   3x + 1 - 1 = 10 - 1
               3x = 9
                 x = 3

ในลักษณะนี้จะเห็นได้ว่า เป็นการใช้เครื่องหมายเท่ากับ
เขียนเป็นบรรทัดๆลงมาจนได้คำตอบสุดท้าย

3. การใช้สมการเพื่อแสดงสูตรต่างๆ เช่น
   สูตร ในการหาพื้นที่สี่เหลี่ยม = ฐาน x สูง
      หรือ     A = bh

4. การสมการแสดงความสัมพันธ์ของต้วแปรตัวต่างกับตัวเลข เช่น
1) y = 2x - 5
2) y = 3x(x + 1)
3) y = x²+6

นี้คือภาพรวมของการนำสมการไปใช้ในที่ต่างๆ ที่เราพบเห็นโดยไปครับ